Question

(理)已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．（1）求橢圓C₁的方程；（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；（3）設C_­2與x軸交于點Q，不同的兩點R、S在C₂上，且 滿足， 求的取值范圍．

Answer 1

  （1）（2）（3）

解析:

：（1）由  （2分）

    由直線

所以橢圓的方程是  （4分）

（2）由條件，知|MF₂|=|MP|．即動點M到定點F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是． （8分）

（3）由（2），知．設

所以當

故的取值范圍是．  （14分）