Question

【題目】已知函數
（1）若m=1，求函數f（x）的定義域．
（2）若函數f（x）的值域為R，求實數m的取值范圍．
（3）若函數f（x）在區間 上是增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若m=1，則

要使函數有意義，需x2﹣x﹣1＞0，解得x∈

∴若m=1，函數f（x）的定義域為

（2）

解：若函數f（x）的值域為R，則x2﹣mx﹣m能取遍一切正實數，

∴△=m2+4m≥0，即m∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）

∴若函數f（x）的值域為R，實數m的取值范圍為（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）

（3）

解：若函數f（x）在區間 上是增函數，

則y=x2﹣mx﹣m在區間 上是減函數且x2﹣mx﹣m＞0在區間 上恒成立，

∴ ≥1﹣ ，且（1﹣ ）2﹣m（1﹣ ）﹣m≥0

即m≥2﹣2 且m≤2

∴m∈

【解析】（1）要使函數有意義，只需真數大于零，解不等式即可得函數的定義域；（2）若函數的值域為R，則真數應能取遍一切正數，只需y=x2﹣mx﹣m的判別式不小于零，即可解得m的范圍；（3）函數f（x）在區間 上是增函數包含兩層含義，y=x2﹣mx﹣m在區間 上是減函數且x2﹣mx﹣m＞0在區間 上恒成立，分別利用二次函數的圖象和性質和單調性即可解得m的范圍