Question

已知f₁（x）=sin2x，記f_n+1（x）=f_n′（x），（n∈N^*），則f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+…+f2012(

π

4

)=

1-22012

5

．

Answer 1

分析：根據題目給出的f₁（x），依次求導得到f₂（x），f₃（x），…，然后把sin

π

2

和cos

π

2

的值代入，得到要求的和式是以1為首項，以-4為公比的等比數列的前1006項和，運用等比數列前n項和公式即可求解．

解答：解：∵f₁（x）=sin2x，∴f2(x)=f1′(x)=(sin2x)′=2cos2x，f3(x)=f2′(x)=(2cos2x)′=-4sin2x，
f4(x)=f3′(x)=(-4sin2x)′=-8cos2x，f5(x)=f4′(x)=(-8cos2x)′=16sin2x，…
∵sin2×

π

4

=sin

π

2

=1，cos2×

π

4

=cos

π

2

=0，
∴f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+f3(

π

4

)+…+f2012(

π

4

)=1-2²+2⁴-2⁸+…-2²⁰¹⁰=

1×[1-(-4)1006]

1-(-4)

=

1-22012

5

．
故答案為

1-22012

5

．

點評：本題考查了導數的運算，數列的求和，考查了學生分析和發現問題的能了，考查了運算能力，本題屬中檔題．