Question

已知函數f(x)=4sin2x•sin2(x+

π

4

)+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若g(x)=f(x+φ)，(-

π

2

＜φ＜

π

2

)在x=

π

3

處取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據題意表示出g（x）解析式，根據正弦函數的性質以及x=

π

3

處取得最大值，確定出φ的值即可；
（Ⅲ）根據第二問確定出的g（x）解析式，根據正弦函數的單調性即可確定出g（x）的單調遞增區間．

解答：解（Ⅰ）f（x）=4sin2x•

1-cos(2x+ π 2 )

2

+cos4x=2sin2x+2sin²2x+1-2sin²2x=2sin2x+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）根據題意得：g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ）+1，
當2x+2φ=

π

2

+2kπ，k∈Z時取得最大值，將x=

π

3

代入上式，
解得：φ=-

π

12

+kπ，k∈Z，
∴φ=-

π

12

；
（Ⅲ）根據第二問得：g（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數g（x）的單調遞增區間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．