Question

已知(x

3

2

+x-

1

3

)n的展開式中各項系數的和是128，則展開式中x⁵的系數是

 

．（以數字作答）

Answer 1

分析：通過對二項式中的x賦值1求出展開式的各項系數和，列方程求出n；利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為5，求出展開式中x⁵的系數．

解答：解：∵(x

3

2

+x-

1

3

)n的展開式中各項系數和為128，
∴令x=1，即得所有項系數和為2ⁿ=128．
∴n=7．
設該二項展開式中的第r+1項為T_r+1=C₇r(x

3

2

)7-r•(x-

1

3

)r=C₇^r•x

63-11r

6

，
令

63-11r

6

=5即r=3時，
∴x⁵項的系數為C₇³=35．
故答案為35

點評：本題考查賦值法是求展開式的各項系數和的重要方法，考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．