Question

  在直三棱柱中，="2" ,.點分別是 ,的中點，是棱上的動點.
（I）求證：平面；
(II)若//平面，試確定點的位置，
并給出證明；
(III)求二面角的余弦值.
【

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

本題考查了線面平行與垂直及二面角的求法。第一問抓住線面垂直的判定定理須證，；第二問先說明是棱的中點，再,取的中點H，證明四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理得證；第三問利用法向量求二面角的余弦值，要注意法向量的準確求解和余弦值的正負。
解：(I) 證明：∵在直三棱柱中，，點是的中點，
∴  …………………………1分
,, 
∴⊥平面 ………………………2分
平面
∴，即 …………………3分
又
∴平面     …………………………………4分
（II）當是棱的中點時，//平面.……………………………5分
證明如下:
連結,取的中點H，連接,
則為的中位線 
∴∥，…………………6分
∵由已知條件，為正方形
∴∥，
∵為的中點，
∴                                       ……………………7分
∴∥，且
∴四邊形為平行四邊形
∴∥
又 ∵          
∴//平面                                    ……………………8分
(III)∵直三棱柱且
依題意，如圖：以為原點建立空間直角坐標系，……………………9分

,,,,
則，
設平面的法向量，
則,即，
令，有                            ……………………10分
又平面的法向量為，
==，                   ……………………11分
設二面角的平面角為，且為銳角
．                      ……………………12分.