Question

已知函數f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，函數f（x）=x²-2x．
（1）試求函數f（x）的解析式；
（2）試求函數f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數，從而可求得x＜0時的解析式，最后用分段函數表示函數f（x）的解析式即可．
（2）x∈[0，3]時，f（x）=x²-2x，由對稱軸方程為x=1，拋物線開口向上，能求出f（x）=x²-2x在[0，3]上的值域．

解答：解：（1）令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x．
當x=0時，f（x）=x²-2x=0，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

．
（2）x∈[0，3]時，f（x）=x²-2x，
∵對稱軸方程為x=1，拋物線開口向上，
∴f（x）=x²-2x在[0，3]上的最小值和最大值分別為：
f（x）_min=f（1）=1-2=-1，
f（x）_max=f（3）=9-6=3．
∴函數f（x）在x∈[0，3]上的值域為[-1，3]．

點評：本題考查奇函數的解析式的求法，考查函數的值域的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．