Question

【題目】已知拋物線： 的焦點，過點作兩條互相垂直的直線，直線交于不同的兩點，直線交于不同的兩點，記直線的斜率為.

(1)求的取值范圍；

(2)設線段的中點分別為點，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)見解析

【解析】試題分析：

（1）寫出直線的方程，與拋物線方程聯立方程組，利用判別式求出的一個范圍，另外直線的方程為與拋物線方程聯立同樣又得出的一個范圍，兩者求交集即得；

（2）設，利用韋達定理可得即點坐標，用代替可得點坐標，計算出，得證結論．

試題解析：

（1）由題設可知k≠0，所以直線m的方程為y＝kx＋2，與y2＝4x聯立，

整理得ky2－4y＋8＝0， ①

由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．

直線n的方程為y＝－x＋2，與y2＝4x聯立，

整理得y2＋4ky－8k＝0，

由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．

所以故k的取值范圍為{k|k＜－2或0＜k＜}．

（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．

由①得，y1＋y2＝，則y0＝，x0＝－，則M(－，)．

同理可得N(2k2＋2k，－2k)．

直線MQ的斜率kMQ＝＝，

直線NQ的斜率kNQ＝＝＝kMQ，

所以直線MN過定點Q(2，0)．