已知直線y=3x+1與曲線y=x3+mx+n相切于點(1,4),則m= .
【答案】分析:由于直線y=3x+1與曲線y=x3+mx+n相切于點(1,4),將切點的坐標代入曲線方程,得到關于m,n 的方程,再求出在點(1,4)處的切線的斜率的值,即利用導數求出在x=1處的導函數值,結合導數的幾何意義求出切線的斜率,再列出一個等式,最后解方程組即可得.從而問題解決.
解答:解:∵直線y=3x+1與曲線y=x3+mx+n相切于點(1,4),
將切點的坐標代入曲線方程得:
1+m+n=3,…①
∵y=x3+mx+n,
∴y'=3x2+m,當x=1時,y'=3+m得切線的斜率為3+m,
所以k=3+m=3;
∴m=0.
故答案為:0.
點評:本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識,考查運算求解能力及方程思想.屬于基礎題.