Question

【題目】關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（ ）

A.當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為

B.當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)，且

C.對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)

D.存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

當(dāng)時(shí)，，求出，得到在處的切線的點(diǎn)斜式方程，即可判斷選項(xiàng)A；求出的解，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及極值范圍，可判斷選項(xiàng)B；令，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得，設(shè)，求出的極值最值，即可判斷選項(xiàng)C，D的真假.

當(dāng)時(shí)，，

,

所以在處的切線方程為，

即，所以選項(xiàng)A正確；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

所以存在，使得，

當(dāng)，

所以是唯一極小值點(diǎn)，且，

，

，

，所以選項(xiàng)B正確；

令，當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，

，

令，

由圖像可知，

當(dāng)時(shí)取極大值，又，

，

當(dāng)時(shí)極小值，又，

，

所以當(dāng)，，

當(dāng)時(shí)，

與直線沒有交點(diǎn)，

即在上不存在零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，與直線有唯一交點(diǎn)，

此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.