Question

【題目】已知函數(shù)（），是的導數(shù).

（1）當時，令，為的導數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點；

（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)，，注意到在上單增，再利用零點存在性定理即可解決；

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導討論的最值即可.

（1）由已知，，所以，

設(shè)，，

當時，單調(diào)遞增，而，，且在上圖象連續(xù)

不斷.所以在上有唯一零點，

當時，；當時，；

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小

值點，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點；

（2）設(shè)，，，

∴在單調(diào)遞增，，

即，從而，

因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴在上恒成立，

令，

∵，

∴，

在上單調(diào)遞減，，

當時，，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.

當時，在上單調(diào)遞減，

所以一定存在，

當時，，在上單調(diào)遞增，

與題意不符，舍去.

綜上，的取值范圍是