Question

（2010•廣東模擬）過點P（-3，0）的直線l與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1交于點A，B，設直線l的斜率為k₁（k₁≠0），弦AB的中點為M，OM的斜率為k₂（O為坐標原點），則k₁•k₂=（　�。�

• A．

  9

  16

• B．

  3

  4

• C．

  16

  9

• D．16

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則

x12

16

-

y12

9

=1①，

x22

16

-

y22

9

=1②，①-②⇒k₁•

y0

x0

=

9

16

，又k₂=

y0-0

x0-0

=

y0

x0

，k₁•k₂可解決．

解答：解：∵點P（-3，0）的直線l與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1交于點A，B，直線l的斜率為k₁（k₁≠0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k₁=

y2-y1

x2-x1

，

x12 16 - y12 9 =1① x22 16 - y22 9 =1②

，①-②得：

x12-x22

16

-

y12-y22

9

=0，即

(x1+x2)(x1-x2)

16

-

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0③；
設AB的中點M（x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
又k₁=

y2-y1

x2-x1

，代入③得：

9

16

=k1•

y0

x0

，又k₂=

y0-0

x0-0

=

y0

x0

，
∴k₁•k₂=

9

16

．
故選A．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，關鍵在于點差法的靈活運用，著重考查學生綜合分析與轉化的能力，屬于中檔題．