Question

已知函數f(x)=sin

x

2

 ，  x∈R，將函數y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），得到函數g（x）的圖象，則關于f（x）•g（x）有下列命題，其中真命題的個數是（　�。�
①函數y=f（x）•g（x）是奇函數；
②函數y=f（x）•g（x）不是周期函數；
③函數y=f（x）•g（x）的圖象關于點（π，0）中心對稱；
④函數y=f（x）•g（x）的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：利用三角函數的圖象和性質，分別進行判斷．①利用函數奇偶性的定義進行判斷．②利用函數周期性的定義進行判斷．③利用函數對稱的性質進行判斷．④利用特殊值進行判斷．

解答：解：∵函數f(x)=sin

x

2

 ，  x∈R，將函數y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），得到函數g（x）=sinx，
∴m（x）=f（x）•g（x）=sin

x

2

•sinx，
①m（-x）=sin（-

x

2

）•sin（-x）=sin

x

2

•sinx=m（x），∴函數y=f（x）•g（x）是偶函數，∴①錯誤．
②∵m（x+4π）=sin

x+4π

2

sin（x+4π）=sin

x

2

•sinx=m（x），∴4π是函數的一個周期，∴②錯誤．
③∵m（x）+m（2π-x）=sin

x

2

•sinx+sin

2π-x

2

•sin（2π-x）=sin

x

2

•sinx-sin

x

2

•sinx=0，∴函數y=f（x）•g（x）的圖象關于點（π，0）中心對稱，∴③正確．
④當x=

π

2

時，m（

π

2

）=sin

π

4

sin

π

2

=

2

2

＞

3

3

，∴函數y=f（x）•g（x）的最大值不是

3

3

．∴④錯誤．
故選A．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，綜合性較強，運算量較大，涉及的知識點較大．