Question

如圖2-2-7所示,在半徑為1的⊙O中，引兩條互相垂直的直徑AE和BF，在上取點C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.證明四邊形APQB的面積是1.

圖2-2-7

Answer 1

思路分析：由已知條件可以證明四邊形ABEF是正方形，且邊長為2，則正方形面積為2.

而△ABD的面積為正方形面積的一半，所以，只需證明S_{四邊形APQB}=S_△ABD，即證S_△BPD=S_△BPQ，即證DQ∥PB.

因為BP⊥AE，所以，只需證DQ⊥AE.

證明：∵AE、BF為互相垂直的兩條直徑，垂足O為圓心，

∴AE、BF互相平分、垂直且相等.

∴四邊形ABEF是正方形.

∴∠ACB=∠AEF=45°，

即∠DCQ=∠QED.

∴D、Q、E、C四點共圓.連結CE、DQ，則∠DCE+∠DQE=180°.

∵AE為⊙O的直徑，

∴∠DCE=90°，∠DQE=90°.

∵∠FOE=90°，進而DQ∥BF，

∴S_△BPQ=S_△BPD.

∴S_△ABP+S_△BPQ=S_△ABP+S_△BPD，即S_{四邊形ABQP}=S_△ABD.

∵⊙O的半徑為1，∴正方形邊長為，即AB=AF=.

∴S_{四邊形ABQP}=S_△ABD=AB·AF=1.

    方法歸納 當題目的結論直接證明較繁或無法證明時，可根據條件先證明某四點共圓，再利用圓的性質可使問題得以解決，這種方法常稱之為“作輔助圓”方法.