Question

已知定圓A：（x+

3

）²+y²=16，圓心為A，動圓M過點B（

3

，0），且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若點P（x₀，y₀）為曲線C上一點，探究直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C是否存在交點？若存在則求出交點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）依據條件判斷定圓和動圓相內切，再依據橢圓的定義寫出曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，y₀=0時，x₀=±2；當y₀≠0時，直線l：y=

4-x0x

4y0

代入橢圓方程，即可求得結論．

解答： 解：（Ⅰ） 圓A的圓心為A（-

3

，0），半徑r₁=4，
設動圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|． …（2分）
由|AB|=2

3

，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，故|MA|=r₁-r₂，
即|MA|+|MB|=4，…（4分）
所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，2a=4，2c=2

3

，可得a²=4，b²=1．
故曲線C的方程為

x2

4

+y²=1；        …（6分）
（Ⅱ）當y₀=0時，x₀=±2，x₀=2時，直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C有且只有一個交點（2，0）；x₀=-2時，直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C有且只有一個交點（-2，0）；
當y₀≠0時，直線l：y=

4-x0x

4y0

代入橢圓方程消去y，得（4y₀²+x₀²）x²-8x₀x+16-16y₀²=0  ①…（10分）
由點P（x₀，y₀）為曲線C上一點，得4y₀²+x₀²=4
于是方程①可以化簡為x²-2x₀x+x₀²=0解得x=x₀，…（12分）
代入y=

4-x0x

4y0

解得y=y₀，故直線l：x₀+4y₀y-4=0與曲線C有且只有一個交點P（x₀，y₀）
綜上，直線l與曲線C存在唯一的一個交點，交點為P（x₀，y₀）．…（13分）

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質及運用，考查直線方程和橢圓方程聯立，消去未知數，考查運算能力，屬于中檔題．