Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，短軸長為．

求橢圓C的標準方程；

過橢圓C的左焦點F的直線l與橢圓C交于M，N兩點，證明：原點O不在以MN為直徑的圓上．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

由題意得，，又，求解得到a，b，c的值，代入橢圓方程即可求解．

直線l過拋物線C的焦點，故設直線MN的方程為，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系，假設原點O在以MN為直徑的圓上，則，即，即，代入計算可得，而上述關于m的方程顯然沒有實數解，故原點O不在以MN為直徑的圓上

解：由已知，得，，

又，

，，

橢圓C的標準方程為，

證明：由得，

易知直線MN不能平行于x軸，

故設直線MN的方程為，設、，

聯立方程得，

，

若原點O在以MN為直徑的圓上，則，

即，即，

又

，

，

而上述關于m的方程顯然沒有實數解．故原點O不在以MN為直徑的圓上．