Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，=λ．（λ∈R）
（Ⅰ）當λ=時，求證AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）當二面角A-A₁D-B的大小為時，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，取BC邊的中點O，連結AO，可證AO垂直于底面，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，由已知求出各點的坐標，得到向量的坐標，由向量的數量積等于0可證AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）把D點的坐標用含有λ的代數式表示，求出二面角A-A₁D-B的兩個面的法向量，利用法向量所成的角為即可得到λ的值．
解答：（Ⅰ）證明：取BC的中點為O，連結AO
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABC⊥面CB₁，△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，
故AO⊥平面CB₁．
以O為坐標原點建立如圖空間直角坐標系O-xyz．
則，B₁（1，2，0），D（-1，1，0），，B（1，0，0）．
所以，，，
因為，
所以AB₁⊥DA₁，AB₁⊥DB，又DA₁∩DB=D，
所以AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：由（1）得D（-1，2λ，0），所以，，，
設平面A₁BD的法向量，平面AA₁D的法向量，
由，得，取y=1，得x=λ，．
所以平面A₁BD的一個法向量為，
由，得，取u=-1，得x=，y=0．
所以平面AA₁D的一個法向量，
由，得=．
解得，為所求．
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角．訓練了利用平面法向量求二面角的大小，是中檔題．