Question

（1）已知函數f（x）=|x+7|，g（x）=m-|x-2|，若函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，求實數m的取值范圍．
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=9，且2|x-1|+|x|≥

3

abc

對任意的a，b，c恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，等價于|x+7|＞m-|x-2|，分離參數m＜|x-2|+|x+7|，求右邊的最值，即可求實數m的取值范圍．
（2）利用

3	abc

≤

a+b+c

3

=3（當且僅當a=b=c=3時取等號），2|x-1|+|x|≥

3	abc

對任意的a，b，c恒成立，等價于2|x-1|+|x|≥3恒成立，分類討論，即可求實數x的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方，
∴|x+7|＞m-|x-2|
∴m＜|x-2|+|x+7|
由絕對值不等式的性質可知|x-2|+|x+7|≥|（x-2）-（x+7）|=9
∴m＜9；
（2）∵a＞0，b＞0
∴

3	abc

≤

a+b+c

3

=3（當且僅當a=b=c=3時取等號）
2|x-1|+|x|≥

3	abc

對任意的a，b，c恒成立，等價于2|x-1|+|x|≥3恒成立，
∴

x≤0 -2x+2-x≥3

或

0＜x≤1 -2x+2+x≥3

或

x＞1 2x-2+x≥3

∴x≤-

1

3

或x≥

5

3

．

點評：本題考查恒成立問題，考查求最值，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．