Question

設復數z₁=cos（α+β）+isin（α+β）z₂=cos（α-β）+isin（α-β），且z1+z2=

4

5

+

3

5

i
（1）求tanα；
（2）求

2cos2 α 2 -3sinα-1

2 sin( π 4 +α)

．

Answer 1

分析：（1）由題意，由復數相等的條件得

cos(α+β)+cos(α-β)= 4 5 sin(α+β))+sin(α-β)= 3 5

，由余弦的和、差角公式展開，再結合商數關系即可求出tanα的值；
（2）由題意，可利用余弦的二倍角公式與正弦的和角公式對所給的代數式化簡，將其用角的正切表示出來，再代入正切值計算出代數式的值．

解答：解：（1）由題意復數z₁=cos（α+β）+isin（α+β），z₂=cos（α-β）+isin（α-β），且z1+z2=

4

5

+

3

5

i
可得

cos(α+β)+cos(α-β)= 4 5 sin(α+β))+sin(α-β)= 3 5

整理得

2cosαcosβ= 4 5 2sinαcosβ= 3 5

，
兩式相除得tanα=

3

4

（2）由題意及（1）得

2cos2 α 2 -3sinα-1

2? sin( π 4 +α)

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

=

1-3tanα

1+tanα

=

1-3× 3 4

1+ 3 4

=-

5

7

點評：本題考查三角恒等變換公式，考查了余弦的和角公式、差角公式，商數關系，復數相等的條件，解題的關鍵是熟練記憶相關公式，由公式進行計算求出結果，本題是基本公式考查題，計算型