Question

已知(1+x+x2)(x+

1

x3

)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，n∈N^*，且4≤n≤9，則n的值可以是

5和9

．

Answer 1

分析：設(shè)T_r+1是(x+

1

x3

)n的通項(xiàng)公式，則T_r+1=

C

r n

xn-r(

1

x3

)r=

C

r n

xn-4r．（r=0，1，2，…，n）．對(duì)于(1+x+x2)(x+

1

x3

)n，當(dāng)1+x+x²中的1與T_r+1中的常數(shù)項(xiàng)相乘時(shí)，或x 與T_r+1中的含x^-1的項(xiàng)相乘時(shí)，或x²與T_r+1中的含x^-2的項(xiàng)相乘時(shí)，會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．
即滿足n-4r=0，-1，或-2時(shí)，會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．由于4≤n≤9，經(jīng)驗(yàn)證即可得出．

解答：解：設(shè)T_r+1是(x+

1

x3

)n的通項(xiàng)公式，則T_r+1=

C

r n

xn-r(

1

x3

)r=

C

r n

xn-4r．（r=0，1，2，…，n）．
對(duì)于(1+x+x2)(x+

1

x3

)n，當(dāng)1+x+x²中的1與T_r+1中的常數(shù)項(xiàng)相乘時(shí)，或x 與T_r+1中的含x^-1的項(xiàng)相乘時(shí)，或x²與T_r+1中的含x^-2的項(xiàng)相乘時(shí)，會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．
即滿足n-4r=0，-1，或-2時(shí)，會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．
∵4≤n≤9，∴n=4，6，7，8時(shí)滿足出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．
因此n≠4，6，7，8．可得n=5，9．
故答案為5或9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式和常數(shù)項(xiàng)，屬于中檔題．