Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為，上頂點為，已知．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經過點，經過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）設橢圓右焦點的坐標為，由，可得，又，即可求解橢圓的離心率；（2）由（1）知，得到橢圓的方程為，設出點，可得，進而得到，由于點在橢圓上，聯立得到，解得，利用中點公式和兩點間的距離公式，利用直線與圓相切的性質即可得出結論．

試題解析：（1）設橢圓右焦點的坐標為，由，可得．

又，則，所以橢圓的離心率．

（2）由（1）知，故橢圓的方程為，

設，由，有，

由已知，有，即，又，故有． ①

又因為點在橢圓上，所以．②

由 ①和②可得，而點不是橢圓的頂點，故，

代人①得，即點的坐標為，設圓的圓心為，

則，進而圓的半徑，

設直線的斜率為，依題意，直線的方程．由與圓相切，可得，

即，整理得，解得，

所以直線的斜率為或．