Question

已知等差數列{a_n} 的公差不為零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數列            
（Ⅰ）求{a_n} 通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2 an+2n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設出等差數列的公差，結合a₂，a₅，a₁₄成等比數列列式求得公差，則等差數列的通項公式可求；
（Ⅱ）把數列{a_n} 通項公式代入b_n=2 an+2n，分組后由等差數列和等比數列的前n項和得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n} 的公差為d，
由a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比數列，得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由b_n=2 an+2n=22n-1+2n=

1

2

•4n+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)
=

4n+1-4

6

+n2+n=

2

3

•4n+n2+n-

2

3

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了等比數列的性質，訓練了數列的分組求和，是中檔題．