Question

1已知函數，，a，b∈R，且g（0）=2，
（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）為定義在R上的奇函數，且滿足下列性質：①h（x+2）=-h（x）對一切實數x恒成立；②當0≤x≤1時．
（ⅰ）求當-1≤x＜3時，函數h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程在區間[0，2012]上的解的個數．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得，
解得，a=-1，b=1．
∴，．
（Ⅱ）（ⅰ）當0≤x≤1時，，
∴當-1≤x≤0時，，
∴．
當1＜x＜3時，-1＜x-2＜1，
∴．
故
（ⅱ）當-1≤x＜3時，由，得x=-1．
∵h（x+2）=-h（x），
∴h（x+4）=-h（x+2）=-[-h（x）]=h（x），
∴h（x）是以4為周期的周期函數．
故的所有解是x=4n-1（n∈Z），
令0≤4n-1≤2012，則．
而n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2012]上共有503個解．
分析：（Ⅰ）利用待定系數法，由條件得出關于a，b的方程，解得，a=-1，b=1即可得出f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）利用當0≤x≤1時函數的解析式，結合函數是偶函數得出當-1≤x≤0時的解析式，最后利用題中的性質即可得出函數h（x）的解析式；
（ⅱ）先利用題中條件：“h（x+2）=-h（x）”得到h（x）是以4為周期的周期函數．從而的所有解是x=4n-1（n∈Z），進一步即可得出在[0，2012]上解的個數．
點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、根的存在性及根的個數判斷等基本知識，考查函數的性質的方法，考查分析問題、解決問題的能力．