Question

已知函數．（a，b∈R）
（ I）若f'（0）=f'（2）=1，求函數f（x）的解析式；
（ II）若b=a+2，且f（x）在區間（0，1）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f'（x）=x²-2ax+b，
由f'（0）=f'（2）=1即得，
所以f（x）的解析式為．
（Ⅱ）若b=a+2，則f'（x）=x²-2ax+a+2，△=4a²-4（a+2），
（1）當△≤0，即-1≤a≤2時，f'（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上單調遞增，
所以，當-1≤a≤2時，f（x）在區間（0，1）上單調遞增；
（2）當△＞0，即a＞2或a＜-1時，
因為f'（x）=x²-2ax+a+2的對稱軸方程為x=a
要使函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，
需或
解得-2≤a＜-1或2＜a≤3．
綜上：當a∈[-2，3]時，函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增．
分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，再根據f'（0）=f'（2）=1，就可求出a，b的值，代入函數解析式即可．
（ II）把b=a+2代入，使函數中只含參數a，因為f（x）在區間（0，1）上單調遞增，所以區間（0，1）是函數增區間的一個子區間，而函數是二次函數，開口向上，所以在對稱軸右側為增函數，所以只要（0，1）位于函數對稱軸右側即可．
點評：本題考查了導數的求法，以及函數單調性的判斷，做題時要細心．