Question

如圖（1），四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為P，且使平面PBD⊥平面BCD，如圖（2）．
（I）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（II）在折疊前的四邊形ABCD中，作AE⊥BD于E，過E作EF⊥BC于F，求折起后的圖形中∠PFE的正切值．

Answer 1

分析：（I）利用折疊前四邊形ABCD中的性質與數量關系，可證BD⊥CD，再利用折疊后BCD平面PBD⊥平面，可證CD⊥平面PBD，從而證明CD⊥PB，
再證明PB⊥平面PDC，然后利用線面垂直證明面面垂直．
（II）利用（1）證明PE⊥平面BCD，從而證明PE⊥EF，再通過解Rt△BEF，求EF，然后解Rt△PEF求tan∠PFE的值．

解答：解：（I）證明：折疊前，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD為等腰直角三角形．
又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．
  折疊后，∵平面BCD⊥平面PBD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面PBD．
又∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB．
又PB⊥PD，PD∩CD=D，
∴PB⊥平面PDC．又PB?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC．
（II）∵AE⊥BD，EF⊥BC，折疊后的位置關系不變，∴PE⊥BD．
又平面PBD⊥平面BCD，∴PE⊥平面BCD，∴PE⊥EF．
設AB=AD=a，則BD=

2

a，∴PE=

2

2

a=BE．
在Rt△BEF中，EF=BE•sin45°=

2

2

a×

2

2

=

1

2

a．
在Rt△PEF中，tan∠PFE=

PE

EF

=

2 2 a

1 2 a

=

2

．

點評：本題通過折疊性問題，考查了面面垂直的性質，面面垂直的判定，考查了線面垂直的性質與判定，綜合性強，關鍵是利用好直線與平面，平面與平面垂直關系的轉化．