Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當a=-1時，求函數y=f（x）的值域；
（2）求函數y=f（x）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將a=-1代入f（x），由二次函數的性質可求最值，得值域；（2）f（x）圖象開口向上，對稱軸為x=-a，x∈[-5，5]，根據二次函數的圖象與性質，按照對稱軸在區間的左中右分類討論即可求最小值．

解答： 解：f（x）=x²+2ax+2，圖象開口向上，對稱軸為x=-a，
（1）當a=-1時，f（x）=x^2_-2x+2，對稱軸為x=1，則函數在[-5，1]上單調遞減，在[1，5]上單調遞增，
x=1時取得最小值f（1）=1，x=-5時取得最大值f（-5）=37，
故函數y=f（x）的值域為[1，37]；
（2）f（x）=x²+2ax+2，圖象開口向上，對稱軸為x=-a，
又x∈[-5，5]，
①當a≤-5時，對稱軸x=-a≥5，在區間右側，f（x）在[-5，5]上單調遞減，
所以f（x）的最小值為f（5）=27+10a，
②當-5≤-a≤5，即-5≤a≤5時，f（x）在[-5，-a]上單調遞減，在[-a，5]上單調遞增，
則f（x）的最小值為f（-a）=2-a²，
③當a≥5時，對稱軸x=-a≤-5，在區間左側，f（x）在[-5，5]上是增函數，
f（x）的最小值為f（-5）=27-10a，

點評：本題考查二次函數的最值與值域，利用函數的圖象與性質，分類討論求解，注意數形結合，分類討論的數學思想．