Question

兩定點的坐標分別為A（-1，0），B（2，0），動點滿足條件∠MBA=2∠MAB，動點M的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：用動點M的坐標體現2∠MAB=∠MBA的最佳載體是直線MA、MB的斜率，確定直線的斜率可求．
解答：解：設M（x，y），∠MAB=α，則∠MBA=2α，它們是直線MA、MB的傾角還是傾角的補角，與點M在x軸的上方還是下方有關；以下討論：
①若點M在x軸的上方，α∈（0，），y＞0，
此時，直線MA的傾角為α，MB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_MA=，tan（π-2α）=，（2α≠90）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-=，得：3x²-y²=3，
∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
當2α=90°時，α=45°，△MAB為等腰直角三角形，此時點M的坐標為（2，3），它滿足上述方程．
②當點M在x軸的下方時，y＜0，同理可得點M的軌跡方程為3x²-y²=3（x≥1），
③當點M在線段AB上時，也滿足2∠MAB=∠MBA，此時y=0（-1＜x＜2）．
綜上所求點的軌跡方程為3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．
故答案為：3x²-y²=3（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．
點評：本題考查軌跡方程，考查學生的計算能力，如何體現動點M滿足的條件2∠MAB=∠MBA是解決本題的關鍵，屬于中檔題