Question

若焦點在x軸上的橢圓

x2

45

+

y2

b2

=1上有一點，使它與兩焦點的連線互相垂直，則正數b的取值范圍是

（0，

3 10

2

]

．

Answer 1

分析：依題意，求b的范圍就是求橢圓短半軸的范圍，利用圓的幾何性質，將橢圓上存在點使它與兩焦點的連線互相垂直的問題轉化為以原點為圓心，兩焦點為端點的線段為直徑的圓與橢圓有交點問題，由橢圓幾何性質即可得關于b的不等式，解得b的取值范圍

解答：解：∵橢圓

x2

45

+

y2

b2

=1的焦點在x軸上，故b²＜45，即正數b∈（0，3

5

）   ①
設橢圓的焦距為2c，則以原點為圓心，兩焦點為端點的線段為直徑的圓O的方程為x²+y²=c²
要使橢圓

x2

45

+

y2

b2

=1上有一點，使它與兩焦點的連線互相垂直，只需圓O與橢圓有交點，
由橢圓幾何性質，只需半徑c≥|b|
即c²≥b²，即45-b²≥b²，b²≤

45

2

   ②
由①②解得：b∈（0，

3 10

2

]
故答案為（0，

3 10

2

]

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，橢圓與圓的位置關系，求橢圓短半軸范圍問題的解法，將問題轉化為兩曲線交點存在問題是解決本題的關鍵