Question

設x＞-1，函數y=

(x+5)(x+2)

x+1

的最小值是

9

．

Answer 1

分析：根據函數的形式，換元：設t=x+1（t＞0），將原函數變為f(t)=(t+

5

t

) +5，再根據t為正數，可以用基本不等式求出f（t）的最小值，最后用等號成立的條件得出相應的x的值，從而得出原函數的最小值2

5

+5是正確的．

解答：解：設t=x+1（t＞0），則
y=f(t)=

(x+5)(x+2)

x+1

=

(t+4)(t+1)

t

整理得：f(t)=(t+

4

t

) +5
∵t＞0
∴t+

4

t

≥ 2

t• 4 t

所以f(t)=(t+

4

t

) +5≥2

4

+5=9
當且僅當t=

4

t

=2時，函數有最小值
此時x=1
因此函數y=

(x+5)(x+2)

x+1

當x=1時有最小值為9
故答案為：9

點評：本題以分式函數為載體，考查了函數的最值及其應用，屬于中檔題．采用換元法、利用基本不等式來求解是解決本題的關鍵，用這個方法時同學們應該注意等號成立的條件，以免出錯．