Question

（2011•泉州模擬）某學員在網上進行駕照模擬測試，在測試過程中，每答完一道題，屏幕上都會自動計算并顯示當前答對題數、答錯題數及正確率，若他共答了10道題，記每答完一道題，屏幕上自動顯示的正確率分別為a₁，a₂，…a₁₀，以下給出四個判斷：
①若a₁＜a₂＜…＜a₁₀，則必是第一題答錯，其余題均答對；
②若a₁=a₂＞…＞a₁₀，則必是第一、第二題均答對，其余題均答錯；
③有可能a₈＜a₉且a₉＞a₁₀；
④滿足方程a₅=2a₁₀的序數對（a₅，a₁₀），不可能超過5對；
其中正確判斷的序號是

①②③

（填寫所有判斷正確的序號）

Answer 1

分析：若a_n＜a_n+1，則第n+1題一定答對，當n=1時，還可得到第一題一定答錯，若a_n＞a_n+1，則第n+1題一定答錯，當n=1時，還可得到第一題一定答對，進而可判斷四個結論的正誤，得到答案．

解答：解：若a₁＜a₂，則第一題一定答錯，第二題一定答對，
若a₂＜a₃，則第三題一定答對，
…
故若a₁＜a₂＜…＜a₁₀，則必是第一題答錯，其余題均答對，即①正確；
a₉＞a₁₀，則第十題一定答錯，
…
a₁=a₂＞a₃，則第三題一定答錯，第一、二題一定答對
故若a₁=a₂＞…＞a₁₀，則必是第一、第二題均答對，其余題均答錯，即②正確；
當前八題存在答錯的題且第九題答對，第十題答錯時，a₈＜a₉且a₉＞a₁₀，即③正確；
若a₅=1，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

1

2

，此時有序數對為（1，

1

2

）
若a₅=

4

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

2

5

，此時有序數對為（

4

5

，

2

5

）
若a₅=

3

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

3

10

，此時有序數對為（

3

5

，

3

10

）
若a₅=

2

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

1

5

，此時有序數對為（

2

5

，

1

5

）
若a₅=

1

5

，由a₅=2a₁₀得a₁₀=

1

10

，此時有序數對為（

1

5

，

1

10

）
若a₅=0，由a₅=2a₁₀得a₁₀=0，此時有序數對為（0，0）
故這樣的有序數對為6對，故④錯誤；
故答案為：①②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了歸納推理，其中根據題意分析出若a_n＜a_n+1，則第n+1題一定答對，當n=1時，還可得到第一題一定答錯，若a_n＞a_n+1，則第n+1題一定答錯，當n=1時，還可得到第一題一定答對，是解答的關鍵．