Question

已知定義在R上的函數f（x）和數列{a_n}滿足下列條件：a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），，3，4，…），若a₁=30，a₂=60，令b_n=a_n+1-a_n（n∈N₊）．
（I）證明數列{b_n}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（II）設c_n=log₂b_n，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求使S_n取最大值時的n值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據b_n=a_n+1-a_n，進而表示出b_n+1=，求得為定值，判斷數列{b_n}是等比數列，公比為，通過b₁=a₂-a₁求得數列的首項，進而根據等比數列的通項公式求得數列{b_n}的通項公式．
（2）把（1）求得的b_n代入c_n，進而可求得c_n+1-c_n結果為定值，且小于0可判斷出數列{c_n}是遞減的等差數列，令c_n＞0得n＜2+log₂15，求得數列{c_n}的前5項都是正的，第6項開始全部是負的，進而可判斷n=5時，S_n取最大值．
解答：解：（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1，
∴
∴數列{b_n}是等比數列，
∵b₁=a₂-a₁=30∴．
（II）c_n=log₂15+2-n，
∵c_n+1-c_n=-1，
∴數列{c_n}是遞減的等差數列，
令c_n＞0得n＜2+log₂15，∵log₂15∈（3，4），
∴2+log₂15∈（5，6）
∴數列{c_n}的前5項都是正的，第6項開始全部是負的，
∴n=5時，S_n取最大值．
點評：本題主要考查了等比關系的確定和等比數列的通項公式．涉及了數列和不等式問題的綜合考查．