Question

拋物線x²=ay（a＞0）的準線l與y軸交于點P，若l繞點P以每秒

π

12

弧度的角速度按逆時針方向旋轉t秒鐘后，恰與拋物線第一次相切，則t等于（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據拋物線的方程，找出p的值，進而得到其準線方程和P的坐標，根據直線l過P點，設出直線l的斜率為k時與拋物線相切，表示出此時直線l的方程，與拋物線聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，令根的判別式等于0列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l的傾斜角，用求出的傾斜角除以角速度即可求出此時所用的時間t．

解答：解：根據拋物線的方程x²=ay，得到p=

a

4

，
所以此拋物線的準線方程為y=-

a

4

，P坐標為（0，-

a

4

），
令恒過P點的直線y=kx-

a

4

與拋物線相切，
聯立直線與拋物線得

y= x2 a y=kx- a 4

，
消去y得：

x2

a

-kx+

a

4

=0，得到△=k²-1=0，即k²=1，
解得：k=1或k=-1，
由直線l繞點P逆時針旋轉，k=-1不合題意，舍去，
則k=1，此時直線的傾斜角為

π

4

，又P的角速度為每秒

π

12

弧度，
所以直線l恰與拋物線第一次相切，則t=

π 4

π 12

=3．
故選C．

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的簡單性質，恒過定點的直線方程．當直線與曲線相切時，設出直線的方程，聯立直線與曲線方程，消去一個字母后得到關于另一個字母的一元二次方程，利用根的判別式等于0，是解題的關鍵．