Question

已知一橢圓經(jīng)過點(diǎn)（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同的焦點(diǎn)
（1）求橢圓方程；
（2）若P為橢圓上一點(diǎn)，且，P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個直角三角形的頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，求|PF₁|：|PF₂|的值．

Answer 1

解：（1）∵，
與之有共同焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為，代入（2，-3）點(diǎn)，
解得m=10，或m=-2（舍），故所求方程為．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，
則，
于是|PF₁|：|PF₂|=2．
②若∠F₁PF₂=90⁰，則，，，
∵△＜0，∴無解，即這樣的三角形不存在，
綜合1，2 知，|PF₁|：|PF₂|=2．
分析：（1）由題意可得，可設(shè)所求橢圓方程為 ，代入（2，-3）點(diǎn)，解得m=10，或m=-2（舍），得到所求方程．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，，由橢圓的定義可得，
于是|PF₁|：|PF₂|=2． ②若∠F₁PF₂=90⁰，則，，，由△＜0 知無解，即這樣的三角形不存在．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出|PF₁|和|PF₂|的值，是解題的關(guān)鍵．