Question

已知函數在區間[m，n]上為增函數，且f(m)f(n)=-4，
(Ⅰ)當a=3時，求m，n的值；
(Ⅱ)當f(n)-f(m)最小時，
①求a的值；
②若P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)（a＜x₁＜x₂＜n）是f(x)圖象上的兩點，且存在實數x₀，使得，證明：x₁＜x₀＜x₂。

Answer 1

解：，
(Ⅰ)當a=3時，
由得或x=2，
所以f（x）在上為增函數，在上為減函數，
由題意，知，
且，
因為，
所以，，
可知。
(Ⅱ)①因為，
當且僅當時等號成立，
由，有，得a≤0；
由，有，得a≥0；
故取得最小值時，a=0，n=1。
②此時，，
由知，，
欲證，先比較與的大小，

，
因為，所以，
有，
于是，
即，
另一方面，，
因為，
所以，
從而，即；
同理可證x₀＜x₂；
因此，x₁＜x₀＜x₂。