Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C是菱形，∠ACC₁=60°，側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，A₁B=AB=AC=1．求證：
（1）AA₁⊥BC₁；
（2）求點A₁到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）要證AA₁⊥BC₁．只需證AA₁⊥面BDC₁，只需證AA₁垂直于面BDC₁內的兩條相交直線，設AA₁中點為D，根據A₁B=AB，可得BD⊥AA₁，利用側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，可得BD⊥面AA₁C₁C．根據△ACC₁為正三角形，AC₁=C₁A₁，可得C₁D⊥AA₁，從而得證；
（2）由（1），有BD⊥C₁D，BC₁⊥CC₁，CC₁⊥面C₁DB，設點A₁到平面ABC的距離為h，利用等面積有

1

3

hS△ABC=VB-CAC1=VB-CDC1=VC-C1DB，從而可求點A₁到平面ABC的距離．

解答：（1）證明：設AA₁中點為D，連BD，CD，C₁D，AC₁．
因為A₁B=AB，所以BD⊥AA₁．--------------------------2分
因為側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，所以BD⊥面AA₁C₁C．----------4分
又△ACC₁為正三角形，AC₁=C₁A₁，所以C₁D⊥AA₁．------6分
所以AA₁⊥面BDC₁，
所以AA₁⊥BC₁．----------------------------8分
（2）解：由（1），有BD⊥C₁D，BC₁⊥CC₁，CC₁⊥面C₁DB
設點A₁到平面ABC的距離為h，則

1

3

hS△ABC=VB-CAC1=VB-CDC1=VC-C1DB．
因為BD=C1D=

3

2

，CC₁=1
∴VC-C1DB=

1

3

CC1×S△C1DB=

1

8

，
∵CC1=1，BC1=

6

2

，
∴BC=

10

2

∵AB=AC=1，
∴S△ABC=

15

8

∴h=

15

5

．
即點A₁到平面ABC的距離為

15

5

．----14分

點評：本題以三棱柱為載體，考查線面垂直的判定與性質，考查點面距離的求法，解題的關鍵是轉換底面，利用體積相等求解．