Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c。
（1）若對任意x₁，x₂∈R，且都有f（x₁）≠f（x₂），求證：關于x的方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]有兩個不相等的實數根且必有一個根屬于（x₁，x₂）；
（2）若關于x的方程f（x）=[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）內的根為m，且x₁，m-，x₂成等差數列，設函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x=x₀，求證：x₀＜m²。

Answer 1

解：（1）∵
∴
整理得
∴

∵
∴
故它們中至少有一個不是0
∴Δ>0，故方程有兩個不相等的實數根
令
則
又
則
故方程必有一個根屬于（x₁，x₂）；
（2）∵方程在內的根為m
∴
∴
成等差數列
∴
∴
故。