Question

（2012•南寧模擬）已知函數f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1時函數f（x）取得極值．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
①證明：當x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的上方；
②證明不等式（2n+1）²＞4ln（n!）恒成立．（注：（n!=1×2×3×…×n））

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，然后根據在x=1時函數f（x）取得極值求出a的值，最后根據f′（x）＜0可求出函數的減區間，f′（x）＞0可求出函數的增區間；
（II）①設F（x）=f（x）-g（x），利用導數研究函數F（x）的最大值，從而可判定F（x）的符號，即可證得g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方；
②由①可知，lnx-x+1≤0，可得lnx＜x恒成立，從而有ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，累加可得ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜

n(n+1)

2

，然后利用放縮法可證得結論．

解答：解：（I）由題可知，函數的定義域為{x|x＞0}，
f′（x）=

1

x

+2ax-3=

2ax2-3x+1

x

，
∵x=1處函數f（x）取得極值
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＞0，當x∈（

1

2

，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數f（x）的單調增區間為（0，

1

2

），（1，+∞），函數f（x）的單調減區間為（

1

2

，1）
（II）①設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

∵當x∈（0，1）時，F′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，F′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，從而g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方
②由①可知，lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1∴lnx＜x恒成立
從而有ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，
累加得ln1+ln2+ln3+…+lnn＜1+2+3+…+n
即ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜

n(n+1)

2

∵

n(n+1)

2

＜(

n+n+1

2

)2
∴

(2n+1)2

4

＞ln(n!)即（2n+1）²＞4ln（n!）

點評：本題主要考查了函數的單調性和恒成立問題以及不等式的證明，同時考查了計算能力，屬于中檔題．