Question

三棱錐A-BCD中，對棱AD、BC所成的角為30°且AD=BC=a．截面EFGH是平行四邊形，交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H，設

BE

AB

=t
（1）求證：BC∥平面EFGH；
（2）求證：平行四邊形EFGH的周長為定值；
（3）設截面EFGH的面積為S，寫出S與t的函數解析式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形EFGH為平行四邊形，可得到EF∥GH，根據線面平行的判定，可得到EF∥平面BCD，再由線面平行的性質可得到EF∥BC
最后由線面平行的判定得到BC∥平面EFGH．
（2）由（1）可得BC∥HG，同理可證得：AD∥EH，由EH∥AD得到

EH

AD

=

BE

AB

=t將各邊用a，t表示可得周長λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．
（3）由EH∥AD，HG∥BC，可知∠EHG是AD與BC所成的角且∠EHG=30°，再由正弦定理建立面積模型，利用二次函數法求最值．

解答：解：（1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形∴EF∥GH
又∵EF?平面BCD，GH?平面BCD∴EF∥平面BCD
又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC
∴EF∥BC
又∵BC?平面EFGH，EF?平面EFGH∴BC∥平面EFGH
（2）由（1）可得BC∥HG，同理可證得：AD∥EH
∵EH∥AD∴

EH

AD

=

BE

AB

=t∴EH=at
又∵Ha∥BC∴

Ha

BC

=

DH

BD

=

AE

AB

=1-t
∴HG=a（1-t）∴周長λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．
（3）∵EH∥ADHG∥BC
∴∠EHG是AD與BC所成的角（設∠EHG為銳角）∴∠EHG=30°
∴S=EH×HG×sin30°=

1

2

×at×a(1-t)=

1

2

a2t(1-t)
∴當t=

1

2

時，S_最大=

a2

8

．

點評：本題主要考查了線線，線面，面面平行關系的轉化，以及平面圖形的周長與面積模型的建立方法，考查很綜合，屬中檔題．