Question

【題目】已知a為實數，函數f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在區間（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍為（ ）
A.[1，8]
B.[3，8]
C.[1，3]
D.[﹣1，8]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：令函數g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判別式△=a2+8＞0，故函數g（x）一定有兩個零點， 設為x1 和x2 ， 且 x1＜x2 ．
∵函數f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|= ，
故當x∈（﹣∞，x1）、（x2 ， +∞）時，
函數f（x）的圖象是位于同一條直線上的兩條射線，
當x∈（x1 ， x2 ）時，函數f（x）的圖象是拋物線y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段連在一起．
由于f（x）在區間（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上單調遞增，
∴a＞0且函數g（x）較小的零點x1= ≥﹣1，
即a+2≥ ，
平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，
同時由y=2x2﹣ax﹣2的對稱軸為x= ，
若0≤ ≤2，可得0≤a≤8．
綜上可得，1≤a≤8，
故實a的取值范圍為[1，8]，
故選：A．

【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．