Question

12．（1）計算：$\root{3}{（-4）^{3}}$-（$\frac{1}{2}$）⁰+0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$×（$\frac{-1}{\sqrt{2}}$）^-4；
（2）已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用指數冪的運算性質即可得出．
（2）因為x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可以兩邊同時平方，得x+x^-1+2=9，從而求出x+x^-1的值為7，x+x^-1兩邊同時平方，x²+x^-2+2=49，從而求出x²+x^-2的值，帶入計算即可得到答案．

解答 解：（1）$\root{3}{（-4）^{3}}$-（$\frac{1}{2}$）⁰+0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$×（$\frac{-1}{\sqrt{2}}$）^-4；
原式=-4-1+$（\frac{1}{4}）^{\frac{1}{2}}$×$（-\sqrt{2}）^{4}$
=-5+$\frac{1}{2}×4$
=-5+2
=-3
（2）已知：x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
則（x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=9
⇒x+x^-1+2=9
⇒x+x^-1=7
∴（x+x^-1）²=49
⇒x²+x^-2+2=49
⇒x²+x^-2=47
所以：$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$=$\frac{47-2}{7-3}=\frac{45}{4}$．

點評 本題考查了指數冪的運算性質，屬于基礎題．