Question

【題目】如圖所示，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2． （Ⅰ）若M為CD中點，求證：AM⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，∠BAD=120°，連結AC， ∴△ACD為等邊三角形，
又∵M為CD中點，∴AM⊥CD，
由CD∥AB得，∴AM⊥AB，
∵AA1⊥底面ABCD，AM底面ABCD，∴AM⊥AA1 ，
又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面AA1B1B
解：（Ⅱ）∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2，
∴DM=1， ，∠AMD=∠BAM=90°，
又∵AA1⊥底面ABCD，
分別以AB，AM，AA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，
則A1（0，0，2）、B（2，0，0）、 、 ，
∴ ， ， ，
設平面A1BD的一個法向量 ，
則有 ，令x=1，則 ，
∴直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值：
．

【解析】（Ⅰ）推導出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1 ， 由此能證明AM⊥平面AA1B1B（Ⅱ）分別以AB，AM，AA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．