Question

定義：，若已知函數（a＞0且a≠1）滿足f（1）=．
（1）解不等式：f（x）≤2；
（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0對于任意正實數t恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，f（1）=a-=，∴a=2或-（舍），…（1分）
當x＞0時，f（x）=≥2，∵f（x）=≤2，∴=2，∴，∴x=0；
∵x＞0，∴無解，…（3分）
當x=0時，f（0）=2⁰-=1≤2，∴x=0，…（4分）
當x＜0時，f（x）=2^x-=2^x+1≤2，∴x≤0，
因為x＜0，所以x＜0，…（6分）
綜上所述，不等式的解集為（-∞，0]．…（7分）
（2）因為t＞0，所以f（t）=2^t+，f（2t）=2^2t+，
∴f（2t）+mf（t）+4=2^2t++m（2^t+）+4≥0恒成立，…（8分）
令u=2^t+（t＞0）∈[2，+∞），…（9分）
則2^2t++m（2^t+）+4=u²-2+mu+4=u²+mu+2≥0恒成立，
∴m≥-（u+）（u∈[2，+∞））恒成立，
∴m≥[-（u+）]_max（u∈[2，+∞）），…（11分）
∵y=-（u+）在[2，+∞）上單調遞減，…（12分）
∴[-（u+）]_max（u∈[2，+∞））=-3，…（13分）
綜上所述，m≥-3．…（14分）
分析：（1）根據f（1）=，可求a的值，根據所給定義，分類討論化簡函數，分別解不等式，即可得到結論；
（2）表示出相應函數，將不等式等價變形，利用換元法，再分離參數，利用函數的單調性，確定函數的最值，即可求得實數m的取值范圍．
點評：本題考查解不等式，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查函數的單調性，解題的關鍵是確定函數的解析式．