Question

如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為60°的扇形，∠POQ的平分線交弧PQ于點E，扇形POQ的內接矩形ABCD關于OE對稱；設∠POB=α，矩形ABCD的面積為S．
（1）求S與α的函數關系f（α）；
（2）求S=f（α）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得△AOD為等邊三角形，求得BC=2sin（-α）=cosα-sinα．再求得∠ABO=-α，△OAB中，利用正弦定理求得AB=2sinα．
可得矩形ABCD的面積S=f（α）=AB•BC=．
（2）由（1）可得S=f（α）=2sin（2α+）-．再由 0＜α＜，根據正弦函數的定義域和值域求得S=f（α）的最大值．
解答：解：（1）由題意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=，∴∠OAD==∠ADO，∠BOC=-2α，△AOD為等邊三角形．
故BC=2sin（-α）=2（cosα-sinα）=cosα-sinα．
再由∠ABO=π-∠AOB-∠OAD-∠BAD=π-α--=-α，△OAB中，利用正弦定理可得，
即 =，化簡可得AB=2sinα．
故矩形ABCD的面積S=f（α）=AB•BC=．
（2）由（1）可得S=f（α）=2sinαcosα-2sin²α=sin2α+cos2α-=2（sin2α+cos2α）-
=2sin（2α+）-．
再由 0＜α＜可得 ＜2α+＜，故當 2α+=，即當時，S=f（α）取得最大值為．
點評：本題主要考查直角三角形中的邊角關系、兩角和差的三角公式、正弦函數的定義域和值域，正弦定理的應用，屬于中檔題．