Question

如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形．記∠COP=α，求當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

解：如圖，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．
所以AB=OB-OA=cosαsinα．
設矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin²α
=sin2α+cos2α-=（sin2α+cos2α）-
=sin（2α+）．
由于0＜α＜，所以當2α+=，即α=時，S_最大=-=．
因此，當α=時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．
分析：如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數模型，再根據所建立的模型利用三角函數的性質求最值．
點評：本題考查在實際問題中建立三角函數模型，求解問題的關鍵是根據圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡．