Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若數列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

(n∈N*)，則a₂₀₁₀的值為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，底數小于1的指數函數符合題中條件，不妨令f（x）=(

1

2

)x，從而求得a₁=f（0）=1，再由 f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得a_n+1=a_n+2，再由等差數列的定義求得結果．

解答：解：根據題意，不妨設f（x）=(

1

2

)x，（其中x∈R）；則a₁=f（0）=1，
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)2+an，∴a_n+1=a_n+2；
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列；∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．
故答案為：4019．

點評：本題考查了數列與函數的綜合運用，本題中的條件滿足底數小于1的指數函數，不妨用特殊值法來解答，可以提高解題效率．