設(shè)函數(shù),其中
.
(1)若,求
在
的最小值;
(2)如果在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)是否存在最小的正整數(shù),使得當
時,不等式
恒成立.
(1);(2)
;(3)存在最小的正整數(shù)
,使得當
時,不等式
恒成立.
【解析】
試題分析:(1) 由題意易知,(
)得
(
舍去)
所以當時,
單調(diào)遞減;當
時,
單調(diào)遞增,則
;
(2)由在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值可轉(zhuǎn)化為
的導(dǎo)函數(shù)
在
有兩個不等實根,即
在
有兩個不等實根,可求出
的范圍.
(3) 由不等式,令
即可構(gòu)造函數(shù)
,再利用導(dǎo)數(shù)證明
在
即可.
試題解析:(1)由題意知,的定義域為
,當
時,由
,得
(
舍去),當
時,
,當
時,
,所以當
時,
單調(diào)遞減;當
時,
單調(diào)遞增,
∴.
(2)由題意在
有兩個不等實根,即
在
有兩個不等實根,設(shè)
,又對稱軸
,則
,解之得
.
(3)對于函數(shù),令函數(shù)
,則
,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,又
時,恒有
,即
恒成立.取
,則有
恒成立.顯然,存在最小的正整數(shù)
,使得當
時,不等式
恒成立.
考點:1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 2.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍 3.構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立
科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年浙江省嵊泗中學高二第二學期5月月考文科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分15分)
設(shè)函數(shù),其中,
(1)求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;;w
(2)已知函數(shù)有3個不同的零點
,且
,若對任意的
,
恒成立,求
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學 來源:2013上海市奉賢區(qū)高考一模文科數(shù)學試卷(帶解析) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中
;
(1)若的最小正周期為
,求
的單調(diào)增區(qū)間;(7分)
(2)若函數(shù)的圖象的一條對稱軸為
,求
的值.(7分)
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省常州市奔牛高級中學高考數(shù)學三模試卷(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年安徽省馬鞍山市高三第一次月考文科數(shù)學試卷 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中實數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間
上均為增函數(shù),求a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆河北省高二下學期期末考試文科數(shù)學(A卷) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中
,
。
(1)若,求曲線
在
點處的切線方程;
(2)是否存在負數(shù),使
對一切正數(shù)
都成立?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由。
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