Question

已知函數y=f（x）為R上偶函數，當x≥0時，f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（4），f（3）=

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4

，且當x≥0時，函數f（x）的值域為[0，+∞）．
（Ⅰ）求函數f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）做出函數f（x）的圖象；
（Ⅲ）由f（x）的圖象說明函數g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零點個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由條件確定a，b，c，然后利用奇偶性確定f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用解析式，作出二次函數的圖象．
（Ⅲ）利用換元，并結合圖象判斷函數g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零點個數．

解答：
解：（Ⅰ）由f（0）=f（4），f（3）=

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4

，得16a+4b=0，且9a+3b+c=

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，且對稱軸為x=2，因為x≥0時，函數f（x）的值域為[0，+∞），
所以f（2）=0，即4a+2b+c=0，所以解得a=

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，b=-1，c=1．即x≥0時，f（x）=

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4

x²-x+1．
當x＜0，則-x＞0，則f（-x）=

1

4

x²+x+1，因為函數y=f（x）為R上偶函數，所以f（-x）=

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4

x²+x+1=f（x），即當x＜0時，f（x）=

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4

x²+x+1．
所以f(x)=

1 4 x2-x+1，x≥0 1 4 x2+x+1，x＜0

．
（Ⅱ）因為f(x)=

1 4 x2-x+1，x≥0 1 4 x2+x+1，x＜0

，所以作出函數圖象為：
（Ⅲ）由g（x）=2f²（x）-3f（x）+1=0，解得f（x）=1或f（x）=

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2

．
令t=f（x），則由圖象可知，當f（x）=1時，函數有三個交點．當f（x）=

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2

時，函數有四個交點，所以函數g（x）=2f²（x）-3f（x）+1的零點個數為7個．

點評：本題主要考查了二次函數的圖象和性質以及函數與方程的．在解決函數方程根的個數的問題時，經常使用數形結合思想．