Question

（2011•淄博二模）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若

m

=（sin²

B+C

2

，1），

n

=（cos2A+

7

2

，4），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）當a=

3

，S_△ABC=

3

2

時，求邊長b和角B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，利用共線向量的坐標運算可求得cosA=

1

2

，從而可求角A；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式與余弦定理，通過解關于b，c的方程組即可求得邊長b和角B的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴4sin2

B+C

2

-cos2A-

7

2

=0，
∴2[1-cos（B+C）]-cos2A-

7

2

=0，
∴2+2cosA-（2cos²A-1）-

7

2

=0，整理得：（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵a=

3

，A=

π

3

，S_△ABC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

3

2

=

3

2

，
∴bc=2①
由余弦定理a²=b²+c²-2bcconA=b²+c²-2×2×

1

2

=3得：b²+c²=5②
聯立①②得：

b=1 c=2

或

b=2 c=1

．
∴若b=1，c=2，則△ABC為c是斜邊長的直角三角形，故B=

π

6

；
若若b=2，c=1，則△ABC為b是斜邊長的直角三角形，故B=

π

2

．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查余弦定理與三角形面積的綜合應用，考查方程思想與分類討論思想，屬于中檔題．