Question

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-2，a₂=-1，a₃=1，若對任意正整數(shù)n，有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，且a_n+1a_n+2a_n+3≠1，則該數(shù)列的前2010 項和S₂₀₁₀=（ ）
A．2010
B．-2011
C．-2010
D．-2008

Answer 1

【答案】分析：分別表示出a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，兩式相減可推斷出a_n+4=a_n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，只要看2010是3的多少倍，然后通過a₁=-2，a₂=-1，a₃=1求得a₄，而2010是4的502倍余2，故可知S₂₀₁₀=502×（-2-1+1-2）+a₁+a₂答案可得．
解答：解：依題意可知，a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，
兩式相減得a_n+1a_n+2a_n+3（a_n+4-a_n）=a_n+4-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+4-a_n=0，即a_n+4=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，
∵a₁a₂a₃a₄=a₁+a₂+a₃+a₄∴a₄=-2
∴S₂₀₁₀=502×（-2-1+1-2）+a₁+a₂=-2011
故選B
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和問題．本題的關(guān)鍵是找出數(shù)列的周期性，屬于中檔題．