Question

2．已知函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a．（其中a∈R，a為常數）．
（1）求函數的最小正周期和函數的單調遞增區間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為-3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的三角共公式化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性和單調性得出結論．
（2）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求得a的值．

解答 解：（1）函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
故函數f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數的增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）取得最小值為2•（-$\frac{1}{2}$）+a=-3，
∴a=-2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，屬于中檔題．